1901年春天，数学界面对着罗素悖论的挑战，盛大的数学家嗅觉到数学的基础正在他们眼下动摇。罗素悖论不仅对数学领域产生了久了的影响，而且引起了一场默契上的错乱，期间长达十来年。罗素为此付出了杰出的努力，何况他很大一部分元气心灵齐花在支吾盛大同业的月旦上了。

伯特兰・阿瑟・威廉・罗素时常被觉得是逻辑主义通顺的奠基者，领有许多拥护者，同期也引起了许多异议。逻辑主义者想阐述：悉数的纯正数学齐是从纯正的逻辑前提得出来的，并只诳骗不错用逻辑术语界说的成见。

逻辑主义似乎在作念两方面的努力。率先，声称悉数的数学齐不错用逻辑术语来讲明。因此，数学术语和标志就组成了一个逻辑术语和标志的灵验子集。其次，声称悉数的数学证明齐不错用逻辑证明来重新抒发。也等于说，数学定理不错组成逻辑定理的合理子集。

通过强调纯正数学是由逻辑的步履组成的，罗素说：“纯正数学完全是由断言组成的，冒昧是如果某某命题在某种情况下为真，那么另一个某某命题在那种情况下也为真。”

罗素的不雅点招致了月旦。其后罗素写谈：“在一运行，这个论题是不受接待的，因为在传统上，逻辑是与玄学和亚里士多德接洽在沿途的，是以数学家们觉得这跟他们不干系，那些觉得我方是逻辑学家的东谈主也极不肯意被条件掌抓一门新的有相配难度的数学工夫。”

朱尔斯・亨利・庞加莱

在盛大的月旦东谈主中，有一位德才兼备的法国数学家朱尔斯・亨利・庞加莱。克罗内克身后，庞加莱成为康托尔超限数学的主要反对者，而罗素的逻辑大厦主要就修复在康托尔聚首论的基础上，庞加莱对罗素的格调就不言而喻了，相互间是绝不宥恕。

罗素

伯特兰・阿瑟・威廉・罗素1872年5月18日生于威尔士的特雷克。祸患的罗素2岁失去母亲，4岁失去父亲，6岁失去祖父；因此主要由祖母带大。罗素一直在家给与家庭老师的耕种，直到18岁。

尽管祖母的品行好，但成年后，罗素感到很压抑。如他所说：“在我到14岁后，我祖母的学问局限让我很难受，她的清教徒谈德程序也运行显得有些过分。”事实上2026世界杯比赛买输赢中国官网，终其一世，罗素往往发现我方堕入缄默与神气的防止之中。

十几岁的罗素施展出了优异的技艺，罗素在《自传》中写谈：“在11岁时，我的哥哥作念我的导师，运行教我欧几里得几何。在我的一世中，这是一桩紧要事件，像初恋一样让我清翠狂喜。我从来没意想，全国上还有这样好意思好的东西。在学完第五命题后，哥哥告诉我时常东谈主们觉得它很难，但我发现压根就不难。第一次我倏得领悟我也许有些贤达。从那一刻起，直到38岁与怀特海配合完成《数学道理》，数学是我主要的酷爱，亦然我主要的愿意源泉。关联词像其他悉数的愿意一样，它不是纯正的。有东谈主告诉我欧几里得几何里的内容齐是依据于证明，但我失望地发现它是从公理启航的。在运行的时候，如果哥哥弗成给我讲了了这样作念的道理，我就远离给与它们。但他说：‘如果你不给与它们，咱们没法续学习了。’我但愿继续学下去，于是我暂时不情愿地给与了它们。其时对那些数学前提的狐疑一直伴跟着我，决定了我其后所从事研究的场合。”

1890年，罗素进入剑桥大学三一学院学习数学和玄学。两年后，被邀加入一个东谈主数未几、东谈主员经过悉心挑选的“使徒社”，社团往往在大学里组织约会。对罗素有着紧要影响的阿弗烈・诺斯・怀特海亦然社团成员之一。罗素自觉得在社团的行动是一世中在剑桥最大的愿意，致使远比他的成就给他的愿意多。

伯特兰・阿瑟・威廉・罗素

对于我方的早期发展，罗素写谈：“在上剑桥之前，我就照旧对玄学感酷爱了，但除了密尔的书，我莫得读别的。为假设数学是对的找到一些道理，是我最大的生机。密尔的《逻辑》在这个学科上的主张给我的印象是很不完全的……除了一堆纰缪，我的数学导师从未向我阐述假设微积分正确的道理……在第四学年，我读了大部分伟大哲字家的著述，也读了很大量学玄学上的著述。詹姆斯・沃德一直齐给我这个学科最新的书看。每次我把它们还给他时，我齐说它们写得很灾祸。我了了地难忘他的失望和他为了让我自在而去找书所付出的笨重努力。之后，我照旧成为剑桥的又名教员了，我从他那处得到两本薄书，两本书他齐没读过，也不觉得有什么价值。它们是格奥尔格・康托尔的《聚首论》和弗雷格的《成见笔墨》。最终，这两本书给了我想要的依据。”

很快，罗素对康托尔入了迷。在19世纪的临了几年，罗素每天走到岳父母在格罗斯菲那路的家去，在那处花期间读格奥尔格・康托尔，并把重心抄到一个札记本里。

罗素在校的时候，剑桥进行了一场道理久了的变革。管理层运行觉得学术研究不仅是课后布置期间的业余爱好，更应该是老师责任的紧要组成部分。原创性的研究斥逐不错赢得丰厚的奖学金，在1895年，罗素因为对于几何基础的一篇论文赢得奖学金，并发表于1897年。

在此次奏效之后，罗素运行收罗多样不雅点，以对数学的基础作念一番概括的整理，并运行念念考：在少数几个基本逻辑成见的基础上创建数学是可能的。

逻辑主义

罗素不觉得，数理逻辑致使逻辑主义是倏得从我方的脑子里蹦出来的。其他数学家对数理逻辑和数学的基础的注目，沟通了罗素。

弗里德里希・‍路德维希・戈特洛布・弗雷格

19世纪70年代末，德国逻辑学家、数学家、玄学家戈特洛布・弗雷格已发现大部分数学齐不错由很小数的逻辑述说推导出来，1884年发表《算术基础》，书中对算法公理化作了早期尝试。可惜在很猛进度上这本书被苛刻了。

弗雷格信托，逻辑和数学的纠合在表面上是可能的，于是他运行遐想用来作为源泉和基础的命题。到1902年，他照旧将我方的斥逐汇总起来，并发表了《算术基础》的第一卷。弗雷格正出书第二卷的时候，对他早期的《算术基本定律》印象极深的罗素强硬到，我方的悖论在弗雷格的公理体系中产生了矛盾。罗素写信申诉弗雷格后，弗雷格极为忌惮。

对弗雷格来说，由于《算术基础》的第二卷照旧印好了，很难对其再作念出任何修改。因此，他加了一个附录作声明，声明来源是这样写的：“责任刚刚完成，其赖以维系的根基就垮掉了，对于一位科学家来说，莫得比这更沉闷的碰到了。当我的书接近出书的尾声时，伯特兰・罗素先生的一封信就把我置于这样的境地。”

历史记录标明：在这以后，弗雷格变得罕见沮丧，致使有了暗影，尽管主如若出于个东谈主致使是政事原因。直到晚年他才再次作念一些为东谈主称谈的责任，尽管不是这个领域了。1923年，弗雷格得出这样的论断：尝试把数学修复在逻辑的基础上是误入邪道。

具有讪笑意味的是，当1901年建议罗素悖论时，罗素已运行致力于逻辑主义上的《数学道理》。固然弗雷格甩手了从逻辑中修复数学的努力，但罗素决定继续下去，并发表了他的斥逐。弗雷格的第二卷固然也发表了，但照旧是在10年之后，而第三卷一直齐没完成。

伯特兰・阿瑟・威廉・罗素

在《数学道理》的前言中，罗素承认：“弗雷格阐述注解的斥逐，大部分齐先于我，当他的现存斥逐运行出书时，其中的大部分我齐不懂。我照旧见过他的《算术基础》，可是由于他的标志系统太难，我莫得领路它的紧要性，也不懂它的内容。在这样晚的时候，对他的斥逐作念出适合回复的惟一办法等于给它加上一个附录。”换句话说，罗素觉得弗雷格的道路是正确的，仅仅罗素悖论使弗雷格无法继续责任了，而这个穷苦的任务就留给了罗素。同期，罗素还说：“尽管他作念出了划期间的发现，但在1903年我提神到他之前，他一直完全得不到鉴赏。”

为数学的道理创建一个更全面的处理步履是罗素的想法，他运行更刚毅地信托：纯正数学能够修复在一小部分基本的逻辑成见上，它的命题也能从为数未几的基本逻辑道理推异出来。但对初稿，罗素并不自在。

1900年，罗素参加巴黎召开的国际玄学大会。他其后写谈：“此次会议是我学问生命的一个迁徙点，因为在这里我遇到了皮亚诺……在大会的计划中，我发现他一直齐比其他任何东谈主更精准，在他参与的辩论中，他老是能胜仗。过了一段期间，我领悟这应该是由于他能干数理逻辑。因此，我让他把他悉数的研究斥逐齐送给我。大会一实现，我就藏隐到芬赫斯特，放心地琢磨他和他的弟子写的每一个字。对我来说，很昭着他的标志为逻辑分析提供了一个器具，这恰是我寻求多年的。”

罗素很快就领路了皮亚诺的想法和内涵丰富的标志系统，并运行在此基础上重写他的书。

逻辑主义的面世

1903年面世的《数学道理》第一卷受到了接待，建议了许多扶植逻辑与数学间有密切关联的不雅点。第二卷将写入这些不雅点所需要的证明，但它一直莫得完成。斥逐是它演变成了登峰造极的三卷本《数学道理》。而且这套书，是分阶段在与好友兼共事阿尔弗雷德・诺斯・怀特海配合下完成的。

其后，罗素发出一个挑战：“如果还有东谈主不承认逻辑和数学的一致性，咱们不错挑战他们，让他们指出，在《数学道理》严实的界说和推导经由中，哪个地方莫得逻辑而惟稀有学？！”

伯特兰・阿瑟・威廉・罗素

在写稿《数学道理》的同期，罗素并未罢手惩办悖论问题。他运行怀疑这些悖论组成了某种恶性轮回，并寻求回避这个悖论的步履。运行，曾尝试用一种称作类型论的步履，该步履的基本不雅点是分辩个体、个体的范围的范围，以此类推。每一脉络成为一个类型。他把这写在《数学道理》的附录里。至此，这个被寰球纷繁议论了许多年的不雅念，第一次出当今了书面上。关联词尽管它能惩办罗素悖论，却弗成解释康托尔的。

1905年，罗素尝试使用新想法，摸索出三个不同的步履：鬈曲论，在计议界说了了的类时，对命题函数的复杂进度加以松手；限量论，制定例则以刺目某些类过大而引起矛盾；非类论，提议完全排除类。这三个步履齐成为其后研究的对象。罗素在名为《对于超穷数和超穷序型表面中的一些难受》的论文中建议这些步履。1905年12月14日，在伦敦数学学会上宣读了这篇论文，并发表在《伦敦数学学会会报》上。论文中，罗素这样来源：“在某些逻辑推理的念念考步履匡助下，咱们不错信托三个表面中的每一个齐是合理的。”

庞加莱

朱尔斯・亨利・庞加莱于1854年4月29日生于法国的南希。在专科化迅猛发展的期间，他是历历的，涉猎宽泛的数学科学家之一：辞世纪之交，他照旧在包括数论、拓扑学、概率论和数学物理学等诸多领域有所竖立；还写了一套对于天膂力学的三卷本著述；在狭义相对论方面也作念出了始创性的责任。

庞加莱在责任步履上有某些罕见之处：他特殊的责任期间，从上昼10点到中午，从下昼5点到7点。在晚上，他读期刊。阅读面宽泛，但不利用别东谈主的斥逐来开展我方的研究念念路。在我方的研究责任中，庞加莱顺利从最基本的地方开始来得出不雅点。到和罗素发生争论时，庞加莱赢得了悉数能够赢得的奖章和奖金，还被选为最权臣的科学和数学组织的成员。1887年，年仅32岁就被选为法国科学院的成员，他运步履更多读者写东西。非工夫类册本和文章总和接近100本（篇），简直齐是在入选科学院后所写。

在国表里洋的声誉日隆的庞加莱往往被邀请为内行就数学和科学发饰演讲或撰写文章。作为一位不服庸的数学家和科学家，他有着很是宽泛的酷爱、博览群书何况齐能掌抓，而且还运行更多地豪情天然和数学玄学的基本问题。

朱尔斯・亨利・庞加莱

与克罗内克和他同期代的其他东谈主一样，对于在其时生根的新数学不雅念，庞加莱有一些罕见明确的想法，举例：莫得必要去给整数下界说或者将它们的性质公理化；如果弗成用有限的语句给一个对象作出了了而完整的界说，咱们就弗成引入它；聚首论是一个病例，并权衡：“后东谈主会觉得聚首论是一场咱们设法病愈的病。”

庞加莱觉得一些数学不雅点比逻辑更基础，弗成用逻辑术语来表述。1904年，他写谈：“诳骗逻辑，咱们证明；利用直观，咱们创造。”其后他声明：“因此，如果莫得直观的浇灌，逻辑照旧凄凉一派。”

基于庞加莱所笃信的数学理念，不难显露他更倾向于研究应用数学。他说：“训戒是悉数真谛的惟一来源。”固然这最终导致他去深刻念念考科学学问的基础，但对具体有形事物的倾向照旧树大根深。因此，与视无尽为一个简直且可演算的成见的康托尔形成对比，庞加莱反对无尽集的主张。他主张：“实无尽是不存在的。无论若劳动物照旧存在，咱们称为无尽的东西只具有创造新事物的无限可能性。”莫里斯・克莱因写谈：庞加莱“罕见憎恨严重依赖标志逻辑的步履，在他的《科学与步履》中，他致使对这种步履作了讪笑。布拉利・福蒂在1897年的一篇文章中针对整数诳骗了一个这样的步履，东谈主们会发现文顶用了令东谈主晕眩的标志来界说1这个数，谈到这时，2026世界杯比赛买输赢中国官网庞加莱说，对于已往从来莫得听说过1这个数的东谈主来说，这是一个极好的界说，很合适让东谈主们了解它。”

朱尔斯・亨利・庞加莱

在另一篇庞加莱的早期文章中，有一个更偏激的声明：“逻辑巧合候制造怪物。半个世纪（以来)，咱们照旧看到，一些歪邪的方程出现了，它们看起来致力要跟有些本体用途的方程尽可能地不像……已往，发明一个新的方程是为了一些本体的想法；当今，它们发明出来，等于为了给咱们前辈的推导找茬，除此之外，咱们持久也不会从中得到什么。”

因此，庞加莱注定会成为倚重聚首论的逻辑主义的主要反对者。在法国有一段期间，罗素的逻辑主义主要反对者是法国数学家路易斯・库蒂拉特，他在1904年和1906年发表了一些文章。罗素的文章发表在1906年的《伦敦数学学会会报》上。庞加莱找到了我方的靶子，该扣动扳机开火了。

庞加莱的攻势

庞加莱决定对罗素的逻辑主义发起一个全面的批判。为了使玄学和多样科学能互相显露，法国期刊《玄学与伦理学杂志》于1893年运行出书。庞加莱成为该杂志的主要投稿东谈主之一。在罗素的论文发表两个月后，庞加莱以《数学与逻辑》为题在《玄学与伦理学杂志》上刊发了反对文章。狠恶的争论就此拉开序幕。

庞加莱从回溯康托尔运行他的批判：“很大量学家侍从（康托尔的）指引……在他们的眼中，为了用信得过逻辑的步履教算术，咱们应该从细目超穷基数的一般性质开始，然后从它们中间分辩出一个罕见小的类，即普通整数的类。由于这条便谈，咱们会在证明悉数与这个小类接洽的命题上取得奏效，而无需诳骗任何与逻辑不接洽的道理。”关联词庞加莱主张：“这种步履昭着与任何健全的心绪各别；天然，东谈主的技艺也不是用这种步履在构建数学中取得进展的。因此我想，它的作家该不会联意想在中学造就中引入这种步履吧。它合适逻辑吗？或者这样说更好，它是对的吗？这让我狐疑……”他接着说：“祸患的是，他们得出了称之为康托尔悖论的矛盾斥逐……这些矛盾莫得让他们沮丧，他们努力去修正他们的章程，以便让那些照旧不言自明的矛盾淹没。尽管如斯，他们照旧弗成细目，新出现的矛盾是否亦然不言自明的。该是对这些作假学问进行审判的时候了。我不奢想让他们领悟，因为他们照旧在这种氛围中呆得太久。另外，当他们的一个例证被驳倒后，咱们深信会看到它以一种无道理的变化体式回生了，它们中的一些照旧从它们的骨灰中回生过好屡次了。”然后，他说：“这样，不错被显露为，阐述一个定理，知谈它是什么谈理既莫得必要，也莫得什么上风可言。几何学家也许会被‘逻辑钢琴’所替代……或者如果你知足，不错想象一台机器，一端输入假设，另一端就会输出定理，就像外传中的芝加哥机器一样，扔进活猪，出来的齐变成火腿和腊肠。除了这些机器，对于他们所要作念的，数学家们不需要知谈更多。因此，从假设推导到定理的逻辑正确性不应该是惟一让咱们参加的事。完好逻辑的章程是数学的全部吗？这就好比说，棋战的全部奥秘之处就在于移动棋子的章程。在悉数能由逻辑提供的材料修复的构造中，咱们必须作念出选用。信得过的几何学家会理智地作出这种选用，因为有可靠的直观或疲塌的强硬在指引着他。我知谈，这种疲塌的强硬不会是更深邃和更逃匿的几何，只凭它就不错赋予这栋在建造的大厦以价值。”

还有庞加莱对于罗素尝试惩办“悖论”的讪笑：“依据鬈曲论，当‘界说（命题函数）很肤浅时，它们决定一个类；当它们复杂和含混时，它们弗成决定一个类。’当今，谁来决定一个界说是否不错被觉得肤浅到能被给与？如果分歧完全窝囊为力作念一个至意的直露的话，这个问题就莫得谜底。‘那些让咱们默契到这些界说是否正确的章程将会极其复杂，弗成用任何合理的原因来解释它们。’……除了摈斥悖论除外，我还没能找到任何其他的携带性原则。”庞加莱这样实现这一个不雅点：“因此，这个表面仍然很含混；于是，暗澹中出现了一线朝阳逐个‘鬈曲’。罗素称之为‘鬈曲’的这个词毫无疑问等于使艾皮米尼地斯含糊显得不落俗套的罕见之处。”庞加莱指的是艾皮米尼地斯的话“我在说谎”。这句话引出了一个悖论。

朱尔斯・亨利・庞加莱

对于限量论，庞加莱争狡辩：“如果一个类范围太广，它将莫得道理存鄙人去。也许它不错是无限的，但它不应该大得过分了。但咱们往往反复遇到相通的难题：在哪一个点上，它才运行变得过大？天然了，这个难题还莫得惩办，但罗素就接着去计划第三个表面了。”

接着，庞加莱锋芒转向罗素的非类论。锋芒指向罗素在《会报》上发表的论文的收尾的一个附录：“通过进一步的研究，我当今嗅觉到，对于这篇论文第一部分中叙述到的悉数难题，非类论齐能提供一个完整的惩办办法，这简直是莫得什么疑问的。”庞加莱不是很颂扬这种说法，责难说：“在非类论中，不允许说‘类’这个词，这个词必须用多样委婉的说法来代替。对于只谈类和类的逻辑来说，这是何等大的一个改变啊！重组通盘逻辑变得很有必要。想象一下，在计划一个类问题的地方，整页的逻辑会让悉数的命题看起来若何地压抑啊？在一页乏味的敷陈之中，将会惟有零碎的命题幸存下来。”

庞加莱的其他责难：“在多产的问题上，看起来库蒂拉特先生有些无邪的幻想。照他的说法，逻辑给了创造以‘撑持和翅膀’。接着，鄙人一页中有‘10年前，皮亚诺就出书了他的《汇编》’。有翅膀10年了，还莫得飞起来，何如会这样呢？我对皮亚诺致以最高的敬意，他坐蓐了许多精品。但终归是，他还莫得比大部分莫得翅膀的数学家走得更远、更高、更快，也许他用他的双腿行走会更好。各别，在逻辑中，我只看到了管制创造的枷锁。它对简明莫得匡助逐个而且差得很远。如果在阐述1是一个数时需要27个函数，那么，要证明一个实定理的时候得需要若干个函数呢？”

罗素的反击

为确保庞加莱领悟我方的不雅点，罗素在庞加莱家乡的《玄学与伦理学杂志》上作念出回复。在1906年9月这一期上，这样来源：“我信托，庞加莱先生发表在这份期刊上的文章《数学与逻辑》误会了我对于逻辑的性质和想法……同期，它还建议了困扰超穷聚首论悖论的一个惩办办法。庞加莱先生主张，这些悖论齐发祥于某种恶性轮回，在这一丝上，我应允他的说法。但他莫得强硬到幸免这种恶性轮回的难度。我应该努力阐述，如果要躲避它，像我的‘非类论’之类的东西似乎是必需的。果然，恰是为了这个想法，我发明了这个表面。”

接下来是梗概20页的解释，天然少不了对庞加莱的责难的回复。一个罕见谈理的例子是他对庞加莱看不起皮亚诺的回复。罗素回复说：“对于庞加先生对皮亚诺先生的评价，我必须满怀谦逊地踊跃建议与他不同的一丝意见。当今，我要向庞加莱先生标明，这仅仅阐述皮亚诺先生的责任莫得引起他的酷爱的一种表述步履。皮亚诺先生照旧铸造出一个对某些研究来说具有巨狂妄量的器具。咱们中的一些东谈主对这些研究感酷爱，从而对皮亚诺先生充满敬意。咱们觉得，他正如咱们中的这些东谈主所崇拜的那样，比那些苛刻他的‘无翅膀’的数学家走得远和快得多。”

伯特兰・阿瑟・威廉・罗素

罗素回复庞加莱对非类论的评价：“如果庞加莱先生能够扬弃对逻辑与数学任何其他门类划一然不同的信念，他也会强硬到：在倡议不把类行为寥寂的实体上，我不是在倡议作念出一个改变，以使它对于‘重组悉数逻辑’将是必须的；我也不但愿辞谢东谈主们‘说“类”这个词’，就像哥白尼但愿辞谢东谈主们说日出一样。”

罗素觉得，庞加莱的问题是他不了解我方在作念什么：“也许，一个类比会让寰球领悟，这个改变压根就不是那么大。当今广为给与的无尽小量微积分学，既不诳骗无尽小，也不以它为前提。可是这在多大的进度上改变了无尽小量微积分的容貌？简直莫得。某些证明被重写，某些困扰18世纪数学家的悖论照旧惩办了；不然微积分的章程会简直莫得改变。”罗素转头谈：“庞加莱先生告诉咱们，‘逻辑中更了了的不雅念’不是咱们需要的，但他莫得向咱们揭示他作念出这个紧要发现的经由，对我来说，我只可想，他对幸免恶性轮回的尝试阐述了那些看不起逻辑的东谈主的气运。”

争端在继续

在又一次的反击中，庞加莱写谈：“不存在……实无尽。康托尔主义者照旧忘了这个，何况他们已堕入矛盾中。果然，康托尔主义有用，但这是在诳骗到一个术语被精准界说的本体问题时……像康托尔主义者一样，逻辑主义者也会忘了它，并碰到相通的逆境。”其后他又说：“罗素察觉到了这种危急，并听取了劝告。他想改变一切，而且很容易显露的是，他不光在准备引进新的道理，这些道理的应用在已往是辞谢的；他还在准备辞谢一些他已往觉得合理的应用。他已废弃的他又重拾起来，他心疼过的他又贪图废弃，而这种倾向更严重。他不给大厦加上一个新翼，反而掏空它的根基。”

罗素在一篇题目为《以类型论为基础的数理逻辑》的新论文中作念出了回复，发表在1908年的《好意思国数学杂志》上。在文中，建议了一个新的类型论。1909年，庞加莱在《玄学与伦理学杂志》上发表名为《无尽的逻辑》的文章作念出回复：他给出了惩办困扰逻辑悖论的步履，过后标明这是他在这上头对了的建议：只计议能用有限语句界说的对象；持久不要忘了，每一个对于无尽的命题深信是一个对于有限的、震动了的、有所更动的述说；幸免不深信的界说和分类。

对于有限与无尽的区别，庞加莱在他1909年的文章中说：“罗素先生将会毫无疑问地告诉我，它们莫得心绪学上的分辩，惟有逻辑和默契论上的分辩。我不得不被动作念出回复：莫得寥寂于心绪学的逻辑和默契论。这段信念的表白大约会实现这场计划，既然它将展示咱们不雅点上无法长入的分歧。”

伯特兰・阿瑟・威廉・罗素

关联词罗素并不会平心定气。1910年5月，他再次在《玄学与伦理学杂志》上发表名为《逻辑类型的表面》。此时《数学道理》第一卷行将面世，在其弁言中，与这篇最新的文章一样，建议了他在逻辑论上最新的想法。

在文章中，他再次计划起几个主题，包括对“要幸免的悖论齐发祥于某种恶性轮回”的赞同；还加上了一些对于类的最新的巨擘性研究；对他早期的研究作念了拓展。在这篇文章的后头，再次解释了他的类型论。在更后头他写谈：“庞加莱先生的文章《无尽的逻辑》中有一丝需要作念点解释。他断言：‘除非咱们假设序数论照旧诞生，不然类型论依然是弗成显露的’。这个断言对于我来说，似乎存在着某种错乱。”

这种短兵连系的交流还会继续下去吗？也许会，但气运不允许。不久后，庞加莱因前哨腺疾病，在手术后出现了并发症，于1912年7月12日升天了。

失意的罗素

庞加莱的反对，对罗素过头在逻辑主义上的不雅点有什么影响？1938年，在他1903年的《数学道理》的重版中，不错找到一个画面。罗素决定“这本书当今所具有的酷爱是历史上的，它存在于这样一个事实中：它代表了在它这个科目发展中的某个阶段。因此，我莫得改变任何东西，但在这篇前言中，我应该辛劳说领悟：在哪些方面，我相持它抒发的不雅点；在另外哪些方面，对于我来说，后续的研究似乎标明它们是错的。”

一言以蔽之，他告诉东谈主们：“下文对于数学和逻辑是统一的基本论题，我从来莫得看到有任何道理要去修改它。”关联词似乎有些一直让东谈主困惑的东西，包括逻辑自己的界说，“因此，界说逻辑或数学决不肤浅，除非诳骗一些给定的前提”。

伯特兰・阿瑟・威廉・罗素

他也提到了庞加莱。即使在1938年，罗素仍然执着于疗救因庞加莱著名的褒贬所变成的伤痛：“我照旧回到悖论的问题和类型表面。亨利・庞加莱觉得数理逻辑对发现莫得匡助，因而钻研它是白搭工夫，何况他还对悖论的出现感到郁勃，关联词，已往被悉数逻辑学家给与的前提会引出悖论，数理逻辑所要作念的等于让这些悖论变得昭着，不管数学有何等无辜。这些悖论不一定齐是新近出现的，有一些不错回溯到古希腊期间。”

但罗素不至于蠢到觉得这些年逻辑主义表面一丝变化齐莫得。他在前言承认：“在数理逻辑中，照旧有许多有争议的问题，它们……我不贪图去惩办它们。我只一次提到过对于这些悖论的问题，但在我看来，自从我写《数学道理》以来，照旧有了罕见明确的逾越……对我来说，在这中间的34年，咱们所需要的玄学上的变化似乎部分归功于数理逻辑在工夫上的逾越。”

正如克莱因指出的：“尽管在《数学道理》的第一卷中，罗素和怀特海绝不徘徊地引进无尽公理和选用公理，但他们在其后照实甩手了这种作念法。他们不仅承认逻辑的基本定律不是完全的真谛，而且承认这两个公理不是逻辑的公理。在《数学道理》的第二版中，这两个公理莫得出当今书来源的列表中，在需要它们证明某些定理时，对它们的应用也作了罕见阐述。”

事实上，在罗素1938年《数学道理》的前言中，他照旧莫得了早年的乐不雅，不再对我方的不雅点抱有终极奏效的自信了。这要部分地归因于1931年哥德尔对一致性与完备性不相容的证明。这若插手当年的弗雷格有点相似。